Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .
Расстояние между параллельными прямыми равно . На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , равен . Найдите AB .
Окружности с центрами O1и O2имеют общую хорду AB , AO1B = 120o . Отношение длины второй окружности к длине первой равно . Найдите угол AO2B .
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов. Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.
Точки X' и Y' – образы точек X и Y при инверсии относительно окружности с центром O радиуса R, причём точки X и Y отличны от O. Докажите, что X'Y' = XY· .
Пусть при инверсии относительно окружности с центром O точка A переходит в точку A' , а точка B — в B' . Докажите, что треугольники AOB и B'OA' подобны.
На медиане AM треугольника ABC взята точка K, причём AK : KM = 1 : 3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K параллельно стороне AC, делит сторону BC.
В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен . Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?
Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 14, 15.
Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 10.
Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна a , средняя линия трапеции равна b , а острый угол при основании равен45o . Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
Равносторонний треугольник ABC со стороной 3 вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причём хорда AD равна . Найдите хорды BD и CD .
В треугольнике ABC известно, что AB = c, BC = a, ∠B = 120°. Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин A и C.
Сторона треугольника равна , углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°. Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.
Внутри квадрата ABCD взята точка E. Пусть ET – высота треугольника ABE, K – точка пересечения прямых DT и AE, M – точка пересечения прямых CT и BE. Докажите, что отрезок KM – сторона квадрата, вписанного в треугольник ABE.
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC, диагонали трапеции пересекаются в точке E, F – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на сторону AB. Известно, что ∠DFE = α. Найдите ∠CFE.
Две точки, выбранные на противоположных сторонах прямоугольника, соединены отрезками с вершинами прямоугольника. Докажите, что площади семи частей, на которые разбился при этом прямоугольник, не могут оказаться все одинаковы.
Точки P и Q лежат на сторонах соответственно BC и CD квадрата ABCD, причём треугольник APQ – равносторонний. Прямая, проходящая через точку P перпендикулярно стороне AQ, пересекает AD в точке E. Точка F расположена вне треугольника APQ, причём треугольники PQF и AQE равны. Докажите, что FE = 2FC.
Точки D, E и F выбраны на сторонах AC, AB и BC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) так, что DE = DF и при этом ∠BAC = ∠FDE. Докажите, что AE + FC = AC.
Точки D, E и F выбраны на сторонах AC, AB и BC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) так, что DE = DF и при этом AE + FC = AC. Докажите, что ∠A = ∠FDE.
В круге с центром O хорда AB пересекает радиус OC в точке D , причём CDA = 120o . Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AD , DC и дуги AC , если OC = 2, OD = .
Стороны треугольника равны 10, 17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает её на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите основание треугольника.
Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и 4.
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.