Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: высоты в треугольнике

  Пусть AM и CN – высоты треугольника ABC. Поскольку угол ABC тупой, точки M и N лежат на продолжениях сторон BC и AB.

  Треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия  cos 60° = ½.  Следовательно,

MN² = ¼ AC² = ¼ (AB² + BC² – AB&middotBC cos 120°) = ¼ (a² + c² + ac).