Олимпиадная задача по планиметрии: равнобедренный треугольник ABC и радиус вписанной окружности

Заметим, что либо AC=BC , либо AC=AB . Рассмотрим первый из этих случаев (рис.1). Пусть M и H — точки касания вписанной окружности треугольника ABC с боковой стороной AC и основанием AB , O — центр вписанной окружности. Тогда CH — высота, медиана и биссектриса треугольника ABC . Обозначим ACH = α . В прямоугольном треугольнике COM известно, что

OM=, OC=CH-OH=-= , sin α = = =.

Тогда

cos α = , tg α = , AH=CH tg α = · =4.

Следовательно AB=2AH=8. Рассмотрим второй случай (рис.2). Пусть K , L и N точки касания вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC с боковыми сторонами AB , AC и основанием BC соответственно, CH= — высота треугольника ABC , OK=OL=ON=r= — радиус его вписанной окружности. Обозначим BK=BN=CN=CL=a , AK=AL=b , ABC= BCA= β . Тогда

S_{Δ ABC}=AB· CH = (a+b), S_{Δ ABC}=(AB+AC+BC)· r= (2a+b).

Из равенства (a+b)=(2a+b)получаем, что a=4b . Из прямоугольного треугольника ABN находим, что

cos β = ===.

Тогда

sin β=, ctg == =3.

Наконец, из прямоугольного треугольника BOK находим, что

a=BK=OK ctg β = · 3 = 8.

Следовательно,

AB=a+b=a+a=8+2=10.