Олимпиадная задача по планиметрии: хорды BD и CD в равностороннем треугольнике

Пусть точка D лежит на меньшей дуге AB (рис.1). Тогда четырёхугольник ADBC — вписанный, поэтому

ADB = 180^o- ACB = 180^o-60^o= 120^o.

Обозначим BD=x . По теореме косинусов

AB2=AD2+BD2-2AD· BD cos 120^o,

или9=3+x2+x , откуда находим, что BD = x==AD , а т.к. CA=CB — то прямая CD — серединный перпендикуляр к хорде AB , значит, CD — диаметр окружности. Следовательно, CD=2 . Если же точка D лежит на меньшей дуге AC (рис.2), то аналогично найдём, что BD = 2 и CD= . Также доступны документы в формате TeX