Олимпиадная задача по планиметрии: радиусы окружностей треугольника (стороны 13, 14, 15)

Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 14 и 15 соответственно (рис.1), R и r — радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей, r_a , r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC , AC и AB — соответственно, S — площадь треугольника ABC , p — полупериметр. По теореме косинусов

cos BAC = = =.

Тогда

sin BAC = = ,

S=AB· AC sin BAC = · 13· 14· =84.

Следовательно,

r===4.

По теореме синусов

R=== .

Пусть O — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC в точке M и продолжения сторон AC и AB — в точках K и L соответственно (рис.2). Тогда

AK=AL, CK=CM, BL=BM, 2p=AC+BC+AB=AC+(CM+BM)+AL=

=(AC+CM)+(AB+BM)=(AC+CK)+(AB+BL)=AK+AB,

значит, AK=AL=p , поэтому

S=S_{Δ AOK}+S_{Δ AOL}-S_KCBLO= S_{Δ AOK}+S_{Δ AOL}-2S_BOC=

=AK· OK+AL· OL- 2· BC· OM = pr_a+pr_a-BC· r_a= (p-BC)r_a.

Следовательно,

r_a====14.

Аналогично найдём, что

r_b====12, r_c====.