Олимпиадная задача по планиметрии: равносторонний треугольник APQ и точки квадрата
Точки P и Q лежат на сторонах соответственно BC и CD квадрата ABCD, причём треугольник APQ – равносторонний. Прямая, проходящая через точку P перпендикулярно стороне AQ, пересекает AD в точке E. Точка F расположена вне треугольника APQ, причём треугольники PQF и AQE равны.
Докажите, что FE = 2FC.
Разобрать решение
Прямая PE – серединный перпендикуляр к отрезку AQ, поэтому EA = EQ, значит, треугольники AQE и PQF – равнобедренные. Из равенства прямоугольных треугольников ADQ и ABP по катету и гипотенузе следует равенство углов DAQ и BAP, значит, каждый из этих углов равен 15°, то есть углы при основаниях равнобедренных треугольников AQE и PQF равны по 15°.
ТочкиAиCравноудалены от концов отрезкаPQ, значит, прямаяAC– серединный перпендикуляр к отрезкуPQ, а так как FP =FQ, то точка F лежит наAC. ТреугольникCPQ– прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠CPQ= ∠CQP= 45°, ∠CPF= 30°, ∠CFP= 180° – 45° – 30° = 105°, ∠CQF= 30°, ∠DEQ= 30°, ∠DQE= 60°, ∠EQF= 180° – 30° – 60° = 90°, а так как QF = QE, то треугольникEQF– также прямоугольный и равнобедренный. Опустив перпендикулярFKнаCD, получим равнобедренный прямоугольный треугольникCKF, подобный треугольникуFQEс коэффициентом FK:FQ= 1 : 2. Следовательно, FE= 2FC.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.