Олимпиадная задача по планиметрии: деление гипотенузы в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен 
. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая,
разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком
отношении эта прямая делит гипотенузу?
Показать ответ
2:1.
Разобрать решение
Пусть M — точка на гипотенузе AB прямоугольного
треугольника ABC , sin 
A = , N точка на катете AC , MN 
AB и SΔ AMN=
SΔ ABC .
Обозначим, BC=t . Тогда
AB=
= 
= 3t.
Треугольник ANM подобен треугольнику ABC с коэффициентом,
равным квадратному корню из отношения площадей, т.е. 
, значит, MN = 
.
Из прямоугольного треугольника ANM находим, что
AN = 
= 3MN=
,
AM=
= 
=
2t,
поэтому MB=AB-AM=3t-2t=t . Следовательно,
=
=2.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.