Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 4-8 класса

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов.

Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.

Точки <i>X'</i> и <i>Y'</i> – образы точек <i>X</i> и <i>Y</i> при инверсии относительно окружности с центром <i>O</i> радиуса <i>R</i>, причём точки <i>X</i> и <i>Y</i> отличны от <i>O</i>.

Докажите, что  <i>X'Y' = XY</i>·<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116094/problem_116094_img_2.gif"> .

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.

С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.

С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.

Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).

Докажите, что две непересекающиеся окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке<i> M </i>, отличной от точки<i> O </i>, то их образы при инверсии относительно окружности с центром<i> O </i>также касаются, а при инверсии с центром<i> M </i>окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.

С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.

Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

Докажите, что при инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.

Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Пусть при инверсии относительно окружности с центром<i> O </i>точка<i> A </i>переходит в точку<i> A' </i>, а точка<i> B </i>— в<i> B' </i>. Докажите, что треугольники<i> AOB </i>и<i> B'OA' </i>подобны.

На медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>K</i>, причём  <i>AK</i> : <i>KM</i> = 1 : 3.

Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку <i>K</i> параллельно стороне <i>AC</i>, делит сторону <i>BC</i>.

В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115930/problem_115930_img_2.gif"> </i>. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?

Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 14, 15.

Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 10.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна<i> a </i>, средняя линия трапеции равна<i> b </i>, а острый угол при основании равен45<i>^o </i>. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Равносторонний треугольник<i> ABC </i>со стороной 3 вписан в окружность. Точка<i> D </i>лежит на окружности, причём хорда<i> AD </i>равна<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115926/problem_115926_img_2.gif"> </i>. Найдите хорды<i> BD </i>и<i> CD </i>.

В треугольнике <i>ABC</i> известно, что  <i>AB = c,  BC = a</i>,  ∠<i>B</i> = 120°.  Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин <i>A</i> и <i>C</i>.

Сторона треугольника равна  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115924/problem_115924_img_2.gif"> ,   углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°.

Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

Точка<i> M </i>находится внутри диаметра<i> AB </i>окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки<i> P </i>и<i> Q </i>, причём отрезки<i> PM </i>и<i> QM </i>образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые<i> PQ </i>проходят через одну точку.

Точка<i> M </i>— середина стороны<i> BC </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. Известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115922/problem_115922_img_2.gif"> AMD = </i>120<i>^o </i>. Докажите неравенство<i> AB+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115922/problem_115922_img_3.gif">BC+CD>AD </i>.