Олимпиадная задача по планиметрии: инверсия окружностей и прямых для 8-9 классов
Задача
Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке M , отличной от точки O , то их образы при инверсии относительно окружности с центром O также касаются, а при инверсии с центром M окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.
Решение
Пусть точка M не совпадает с центром инверсии. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, а окружность, не проходящая через центр инверсии, — также в окружность, поэтому, если M — единственная общая точка прямой и окружности (или двух окружностей), то её образ M' — единственная общая точка образов прямой и окружности (или двух окружностей). Пусть теперь точка M — центр инверсии. Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя, а окружность, проходящая через центр инверсии, — в прямую, не проходящую через центр инверсии. Точка M при этом переходит в бесконечно удалённую точку. Следовательно, образы прямой и окружности (или двух окружностей) — прямые, не имеющие ни одной общей точки, т.е. параллельные прямые.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь