Олимпиадная задача по планиметрии: Построение инверсии точки циркулем и линейкой

Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром O радиуса R . Пусть M — произвольная точка плоскости. Если точка M лежит на окружности инверсии, то её образом будет сама точка M . Если точка M лежит вне окружности инверсии (рис.1), проведём через неё касательные к окружности инверсии. Пусть A и B — точки касания. Тогда точка пересечения M' отрезка OM с хордой AB и есть искомая точка. Действительно, поскольку OA AM и AM' OM , отрезок AM' — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, значит, OM'· OM = OA2=R2. Следовательно, OM'= , а это и означает, что M' — образ точки M при симметрии относительно окружности с центром O радиуса R . Если же точка M лежит внутри окружности инверсии и отлична от O (рис.2), то проведём хорду AB , перпендикулярную OM , и через точку A касательную к окружности инверсии. Пересечение этой касательной с прямой OM и есть искомая точка. Доказательство аналогично доказательству для предыдущего случая.

Ответ задачи отсутствует