Олимпиадная задача по планиметрии: инверсия для двух непересекающихся окружностей, 8–9 класс

Пусть O1и O2— центры непересекающихся окружностей S1и S2соответственно. Построим на прямой O1O2точку C , для которой касательные, проведённые из неё к окружностям S1и S2, равны. Эту точку можно построить, проведя радикальную ось этих окружностей. Пусть l — длина этих касательных, а O и Q — точки пересечения окружности с центром C радиуса l с прямой O1O2. Ясно, что эта окружность перпендикулярна окружностям S1и S2. Рассмотрим инверсию относительно произвольной окружности с центром O . При этой инверсии прямая O1O2, проходящая через центр инверсии, переходит в себя, а окружность с диаметром OQ , проходящая через центр O инверсии, — в прямую a , не проходящую через центр инверсии. Прямые O1O2и a имеют единственную общую точку Q' — образ точки Q при рассматриваемой инверсии. Поскольку при инверсии сохраняются углы между окружностями, прямая a перпендикулярна образам S1' и S2' окружностей S1и S2, поэтому она проходит через центры окружностей S1' и S2' , лежащие на прямой O1O2, а т.к. прямые O1O2и a имеют ровно одну общую точку Q' , то центры окружностей S1' и S2' совпадают с этой точкой. Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует