Олимпиадная задача по планиметрии: сохранение углов при инверсии для 8-9 классов

Пусть прямые l1и l2пересекаются в точке O . При инверсии относительно окружности с центром O каждая из этих прямых переходит в себя, значит, угол между ними сохраняется. Если прямые пересекаются в точке M , отличной от центра O инверсии, а центр инверсии лежит на одной из прямых (например, на l1), то прямая l1переходит в себя, а прямая l2— в окружность l2' , проходящую через центр инверсии. Пусть m — касательная к этой окружности в точке O . Если ещё раз применить ту же инверсию, то окружность l2' перейдёт в прямую l2, а прямая m — в себя, т.к. она проходит через центр инверсии. В то же время, O — точка касания прямой m и окружности l2' , значит, при инверсии с центром O они перейдут в пару параллельных прямых, поэтому m || l2. Следовательно, угол между прямой l1' (совпадающей с l1) и касательной m к окружности l2' равен углу между прямыми l1и l2. Пусть центр инверсии не лежит ни на одной из прямых l1и l2. Тогда образы этих прямых — окружности l1' и l2' , проходящие через центр инверсии. Пусть m1и m2— касательные к этим окружностям в точке O . Если ещё раз применить ту же инверсию, то окружность l1' и касательная к ней m1перейдут в пару параллельных прямых l1и m1, а окружность l2' и касательная к ней m2— в пару параллельных прямых l2и m2. Следовательно, угол между окружностями l1' и l2' равен углу между прямыми l1и l2.

Аналогично доказывается, что при инверсии сохраняется угол между окружностью и прямой.

Ответ задачи отсутствует