Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>. Биссектриса угла <i>ACB</i> пересекает эти высоты в точках <i>L</i> и <i>K</i> соответственно.
Докажите, что середина отрезка <i>KL</i> равноудалена от точек <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub>.
Окружность, проходящая через вершины<i> A </i>и<i> C </i>и ортоцентр треугольника<i> ABC </i>, пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> X </i>и<i> Y </i>. На стороне<i> AC </i>выбраны точки<i> Z </i>и<i> T </i>так, что<i> ZX=ZY </i>и<i> ZA=TC </i>. Докажите, что<i> BT <img src="/storage/problem-media/115307/problem_115307_img_2.gif"> XY </i>.
Центр<i> I </i>вписанной окружности остроугольного треугольника<i> ABC </i>лежит на биссектрисе острого угла между высотами<i> AA</i>1и<i> CC</i>1. Докажите, что<i> IA</i>1<i>=IC</i>1<i>=IL </i>, где<i> L </i>— основание биссектрисы угла<i> B </i>треугольника<i> ABC </i>.
Дан вписанный четырёхугольник<i> ABCD </i>, в котором<i> BC=CD </i>. Точка<i> E </i>— середина диагонали<i> AC </i>. Докажите, что<i> BE+DE <img src="/storage/problem-media/115305/problem_115305_img_2.gif"> AC </i>.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции <i>ABCD</i> параллельно основаниям <i>BC</i> и <i>AD</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>K</i>. Окружность проходит через вершины <i>A</i> и <i>B</i> трапеции, пересекает её основания <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно и касается её стороны <i>CD</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>XY</i> проходит через точку пересечения прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>
В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>E</i> и <i>F</i> так, что <i>AE = EF</i> и ∠<i>CEF</i> = ∠<i>B</i>. Точка <i>K</i> на отрезке <i>EC</i> такова, что <i>EK = FC</i>.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков <i>AF</i> и <i>EC</i>, в два раза короче <i>KF</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>
Шестиугольник<i> ABCDEF </i>вписан в окружность. Оказалось, что<i> AB=BD </i>,<i> CE=EF </i>. Диагонали<i> AC </i>и<i> BE </i>пересекаются в точке<i> X </i>, диагонали<i> BE </i>и<i> DF </i>— в точке<i> Y </i>, диагонали<i> BF </i>и<i> AE </i>— в точке<i> Z </i>. Докажите, что треугольник<i> XYZ </i>— равнобедренный.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>. Биссектриса внешнего угла при вершине <i>C</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> в точках <i>L</i> и <i>K</i> соответственно. Оказалось, что <i>CL</i> = 2<i>CK</i>. Найдите угол <i>C</i>.
<i>ABCD</i> – выпуклый четырёхугольник, в котором <i>AD = BD = AC</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Отрезок <i>MN</i> пересекает диагонали четырёхугольника в точках <i>X</i> и <i>Y, P</i> – точка пересечения <i>AN</i> и <i>DM</i>. Докажите, что <i>PX = PY</i>.
<i> AA</i>1и<i> CC</i>1— высоты остроугольного треугольника<i> ABC </i>, в котором<i> <img src="/storage/problem-media/115299/problem_115299_img_2.gif"> ABC = </i>45<i><sup>o</sup> </i>. Точки<i> O </i>и<i> H </i>— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что прямая<i> A</i>1<i>C</i>1проходит через середину отрезка<i> OH </i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>X</i> и <i>Y</i> так, что <i>AX = BY</i> и при этом ∠<i>XYB</i> = ∠<i>BAC</i>. Точка <i>B</i><sub>1</sub> – основание биссектрисы угла <i>B</i>. Докажите, что прямые <i>XB</i><sub>1</sub> и <i>YC</i> параллельны.
На биссектрисе<i> AL </i>треугольника<i> ABC </i>, в котором<i> AL=AC </i>, выбрана точка<i> K </i>таким образом, что<i> CK=BL </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/115297/problem_115297_img_2.gif"> CKL=<img src="/storage/problem-media/115297/problem_115297_img_2.gif"> ABC </i>.
Четырёхугольник<i> ABCD </i>вписан в окружность, при этом<i> AB=BD </i>и<i> AC=BC </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/115296/problem_115296_img_2.gif"> ABC <</i>60<i><sup>o</sup> </i>.
На гипотенузе <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отмечены такие точки <i>D</i> и <i>E</i>, что <i>AD</i> ⊥ <i>BC</i> и <i>AD = DE</i>. На стороне <i>AC</i> отмечена такая точка <i>F</i>, что <i>EF</i> ⊥ <i>BC</i>. Найдите угол <i>ABF</i>.
Дан треугольник<i> KLM </i>, в котором<i> <img src="/storage/problem-media/115294/problem_115294_img_2.gif"> KML=</i>121<i><sup>o</sup> </i>. Точки<i> S </i>и<i> N </i>на стороне<i> KL </i>таковы, что<i> KS=SN=NL </i>. Известно, что<i> MN>KS </i>. Докажите, что<i> MS<NL </i>.
Центры<i> O</i>1,<i> O</i>2и<i> O</i>3трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек<i> O</i>1,<i> O</i>2и<i> O</i>3проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвет. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> симметричны соответственно вершинам <i>B</i> и <i>C</i> относительно прямых <i>AC</i> и <i>AB</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABB'</i> и <i>ACC'</i>, отличная от <i>A</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на прямой <i>PA</i>.
Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2касаются внешним образом в точке<i> F </i>. Их общая касательная<i> l </i>касается<i> S</i>1и<i> S</i>2в точках<i> A </i>и<i> B </i>соответственно. Прямая, параллельная<i> AB </i>, касается окружности<i> S</i>2в точке<i> C </i>и пересекает<i> S</i>1в точках<i> D </i>и<i> E </i>. Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников<i> ABC </i>и<i> BDE </i>, проходит через точку<i> F </i>.
Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2касаются внешним образом в точке<i> F </i>. Прямая<i> l </i>касается<i> S</i>1и<i> S</i>2в точках<i> A </i>и<i> B </i>соответственно. Прямая, параллельная прямой<i> l </i>, касается<i> S</i>2в точке<i> C </i>и пересекает<i> S</i>1в двух точках. Докажите, что точки<i> A </i>,<i> F </i>и<i> C </i>лежат на одной прямой.
Вершины<i> A </i>и<i> B </i>правильного треугольника<i> ABC </i>лежат на окружности<i> S </i>, а вершина<i> C </i>— внутри этой окружности. Точка<i> D </i>лежит на окружности<i> S </i>, причём<i> BD=AB </i>. Прямая<i> CD </i>пересекает<i> S </i>в точке<i> E </i>. Докажите, что длина отрезка<i> EC </i>равна радиусу окружности<i> S </i>.
Через точку<i> M </i>, лежащую внутри окружности<i> S </i>, проведена хорда<i> AB </i>; из точки<i> M </i>опущены перпендикуляры<i> MP </i>и<i> MQ </i>на касательные, проходящие через точки<i> A </i>и<i> B </i>. Докажите, что величина<i> <img src="/storage/problem-media/115288/problem_115288_img_2.gif">+ <img src="/storage/problem-media/115288/problem_115288_img_3.gif"> </i>не зависит от выбора хорды, проходящей через точку<i> M </i>.
Даны окружность <i>S</i> и прямая <i>l</i>, не имеющие общих точек. Из точки <i>P</i>, движущейся по прямой <i>l</i>, проводятся касательные <i>PA</i> и <i>PB</i> к окружности <i>S</i>.
Докажите, что все хорды <i>AB</i> имеют общую точку.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, причём касательные в точках <i>B</i> и <i>D</i> пересекаются в точке <i>K</i>, лежащей на прямой <i>AC</i>.
а) Докажите, что <i>AB·CD = BC·AD</i>.
б) Прямая, параллельная <i>KB</i>, пересекает прямые <i>BA, BD</i> и <i>BC</i> в точках <i>P, Q</i> и <i>R</i>. Докажите, что <i>PQ = QR</i>.
Из точки<i> A </i>проведены касательные<i> AB </i>и<i> AC </i>к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках<i> D </i>и<i> E </i>;<i> M </i>— середина отрезка<i> BC </i>. Докажите, что<i> BM</i>2<i> = DM· ME </i>и угол<i> DME </i>в два раза больше угла<i> DBE </i>или угла<i> DCE </i>; кроме того,<i> <img src="/storage/problem-media/115285/problem_115285_img_2.gif"> BEM = <img src="/storage/problem-media/115285/problem_115285_img_2.gif"> DEC </i>.
Стороны <i>BC = a, AC = b, AB = c</i> треугольника <i>ABC</i> образуют арифметическую прогрессию, причём <i>a < b < c</i>. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает описанную окружность в точке <i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что центр <i>O</i> вписанной окружности делит отрезок <i>BB</i><sub>1</sub> пополам.