Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: середина отрезка KL и высоты
Задача
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Биссектриса угла ACB пересекает эти высоты в точках L и K соответственно.
Докажите, что середина отрезка KL равноудалена от точек A1 и B1.
Решение
Пусть A2 и B2 – проекции середины M отрезка KL на прямые BC и AC соответственно, P – проекция точки K на BC, а Q – проекция точки L на AC. Точка M лежит на биссектрисе угла C, поэтому MA2 = MB2. При симметрии относительно биссектрисы CM отрезок PA1 перейдёт в равный ему отрезок B1Q, а так как M – середина FL, то A2 и B2 – середины этих отрезков, поэтому A1A2 = B1B2. Значит, прямоугольные треугольники MA2A1 и MB2B1 равны по двум катетам. Следовательно, MA1 = MB1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь