Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: PX = PY в четырёхугольнике

  Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O (см. рис.). В равнобедренных треугольниках ADB и DAC медианы DM и AN являются биссектрисами и высотами. Значит, P – центр вписанной окружности ω треугольника AOD.

  ТочкиMиNлежат на окружности с диаметромAD(см. рис.). Вписанные в эту окружность углыNMDиNADопираются на одну и ту же дугу, поэтому  ∠XMP= ∠NMD= ∠NAD= ∠NAC= ∠PAX.   Следовательно, точкиA, M, XиPлежат на одной окружности, а так как  ∠AM= 90°,  тоA– диаметр этой окружности. Значит, уголAXP– прямой, то естьPX– радиус окружности ω. АналогичноPY– радиус окружности ω. Следовательно,  PX = PY.

Ответ задачи отсутствует