Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: PX = PY в четырёхугольнике
ABCD – выпуклый четырёхугольник, в котором AD = BD = AC. Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Отрезок MN пересекает диагонали четырёхугольника в точках X и Y, P – точка пересечения AN и DM. Докажите, что PX = PY.
Разобрать решение
Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O (см. рис.). В равнобедренных треугольниках ADB и DAC медианы DM и AN являются биссектрисами и высотами. Значит, P – центр вписанной окружности ω треугольника AOD.
ТочкиMиNлежат на окружности с диаметромAD(см. рис.). Вписанные в эту окружность углыNMDиNADопираются на одну и ту же дугу, поэтому ∠XMP= ∠NMD= ∠NAD= ∠NAC= ∠PAX. Следовательно, точкиA, M, XиPлежат на одной окружности, а так как ∠AM= 90°, тоA– диаметр этой окружности. Значит, уголAXP– прямой, то естьPX– радиус окружности ω. АналогичноPY– радиус окружности ω. Следовательно, PX = PY.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.