Олимпиадная задача по планиметрии: четырёхугольник, окружность и равенство отрезков
Задача
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что AB·CD = BC·AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.
Решение
Будем считать, что точка K лежит на продолжении диагонали AС за точку A. а) По теореме об угле между касательной и хордой ∠ABK = ∠BCK, поэтому треугольники ABK и BCK подобны по двум углам. Значит,
AB : BC = BK : CK, то есть AB·CK = BK·BC.
Аналогично AD·CK = DK·DC. Перемножая эти равенства «крест-накрест и учитывая, что DK = BK, получаем, что AB·CD = BC·AD. б) ∠BPQ = ∠KBA = ∠BDA. Значит, треугольники PBQ и DBA подобны. Отсюда PQ : BQ = AD : AB, то есть PQ = BQ·AD/AB.
Аналогично QR = BQ·CD/BC. Согласно а) AD : AB = CD : BC, поэтому PQ = QR.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь