Задание олимпиады по математике: Независимость суммы углов. Планиметрия 8-9 класс

Задача

Через точку M , лежащую внутри окружности S , проведена хорда AB ; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B . Докажите, что величина + не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M .

Решение

Пусть радиус окружности равен R , точки P и Q лежат на касательных, проведённых к окружности в точках A и B соответственно. Обозначим PAB = QBA = j . Из прямоугольных треугольников APM и BQM находим, что PM=AM sin j , QM=BM sin j . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что из точек большей дуги AB окружности, отличных от A и B , хорда AB видна под углом j , поэтому AB = 2R sin j . Тогда