Олимпиадная задача по планиметрии. Независимость суммы углов через точку M в окружности

Пусть радиус окружности равен R , точки P и Q лежат на касательных, проведённых к окружности в точках A и B соответственно. Обозначим PAB = QBA = j . Из прямоугольных треугольников APM и BQM находим, что PM=AM sin j , QM=BM sin j . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что из точек большей дуги AB окружности, отличных от A и B , хорда AB видна под углом j , поэтому AB = 2R sin j . Тогда

+= += =

== = .

Произведение AM· BM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M . Отсюда следует утверждение задачи.