Олимпиадная задача по планиметрии: касательные, секущие и углы в окружности (8-9 класс)

Пусть O — центр данной окружности S . Из прямоугольного треугольника AOB находим, что AB2=AO· AM . С другой стороны, по теореме о касательной и секущей AB2=AD· AE . Из равенства AO· AM= AD· AE следует, что точки M , O , D и E лежат на одной окружности. Обозначим её S1.

Вписанные углы DME и DOE этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому DME = DOE . Если точки D и C лежат по разные стороны от прямой AO , то вписанный в окружность S угол DCE вдвое меньше центрального угла DOE . Следовательно,

DME = DOE = 2 DCE.

Если же точки D и C лежат по одну сторону от прямой AO , то аналогично DME = 2 DBE .

Пусть луч MB пересекает окружность S1в точке K . Т.к. KMO = 90^o , то OK — диаметр этой окружности. Линия центров OK окружностей S и S1перпендикулярна их общей хорде DE , поэтому дуги KD и KE окружности S1, не содержащие точки O , равны. Следовательно, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, т.е. DMK = EMK .

Пусть продолжения отрезков DM и EM пересекают окружность S в точках E' и D' соответственно. Поскольку окружность S симметрична относительно прямой AO , а DE' и ED' образуют с этой прямой равные углы, точки D' и E' симметричны точкам соответственно D и E относительно прямой AO . Тогда MD=MD' и ME=ME' .

По теореме об отрезках пересекающихся хорд

BM2 = BM· BM=BM· MC = DM· ME' = DM· ME.

Дуги BD' и CD , не содержащие точки E , симметричны относительно прямой AO , поэтому опирающиеся на них вписанные в окружность S углы BED' и DEC равны. Следовательно,

BEM = BED' = DEC.

Ответ задачи отсутствует