Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: касание окружностей и хорд

Пусть O1и O2— центры окружностей O1и O2соответственно. Радиусы O2B и O2C окружности S2перпендикулярны параллельным прямым — касательным к окружности S2, значит, BC — диаметр окружности S2. Поэтому BFC = 90^o .

Пусть общая касательная к окружностям S1и S2пересекает прямую AB в точке M . Тогда MB=MF=MA , т.е. медиана FM треугольника AFB равна половине стороны AB . Следовательно, треугольник AFB — прямоугольный, AFB = 90^o . Таким образом,

AFC = AFB+ BFC = 90^o+ 90^o = 180^o,

т.е. точки A , F и C лежат на одной прямой.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, центр O его описанной окружности — середина гипотенузы AC . Докажем, что точка A — центр описанной окружности треугольника BDE .

Касательная AB параллельна хорде DE окружности S1, поэтому A — середина дуги DE этой окружности. Значит, AD = AE .

Пусть R и r — радиусы окружностей S1и S2соответственно, T — проекция точки O2на AO1. Тогда

AB=O2T = = = 2.

Пусть P — середина хорды DE . Из прямоугольных треугольников O1PE и APE находим, что

PE2=O1E2-O1P2 = O1E2-(AP-O1A)2 =O1E2-(BC-O1A)2= R2-(2r-R)2,

AE= = = 2=AB.

Следовательно, AB=AE=AD , т.е. A — центр описанной окружности треугольника ADE .

Центры O и A описанных окружностей треугольников ABC и BDE лежат на прямой AC , B — одна из точек пересечения этих окружностей, при этом BF AC . Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, следовательно, общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE проходит через точку F .

Ответ задачи отсутствует