Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: найти угол ABF
Задача
На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC отмечены такие точки D и E, что AD ⊥ BC и AD = DE. На стороне AC отмечена такая точка F, что EF ⊥ BC. Найдите угол ABF.
Решение
Решение 1:Точки A и E лежат на окружности с диаметром BF. Вписанные в эту окружность углы ABF и AEF равны. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ADE углы при основании равны по 45°, поэтому ∠ABF = ∠AEF = 90° – ∠AED = 45°.
Решение 2:Прямые AD и FE параллельны, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках AF : FC = ED : CE. Следовательно, AF = FC·ED/CE = FC·AD/CE. Прямоугольные треугольники BAD и FCE подобны по двум углам, поэтому AD : CE = BA : FC. Следовательно, AF = FC·AD/CE = FC·BA/FC = BA. Треугольник ABF – прямоугольный и равнобедренный, следовательно, ∠ABF = 45°.
Ответ
45°.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь