Шестиугольник в окружности и равнобедренный треугольник

Задача

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Оказалось, что AB=BD , CE=EF . Диагонали AC и BE пересекаются в точке X , диагонали BE и DF — в точке Y , диагонали BF и AE — в точке Z . Докажите, что треугольник XYZ — равнобедренный.

Решение

Вписанные углы AEB и BFD опираются на равные хорды, поэтому

YEZ = AEB = BFD = YFZ.

Из точек E и F отрезок YZ виден под одним и тем же углом, значит, точки E , F , Y и Z лежат на одной окружности, т.е. четырёхугольник EYZF — вписанный. Следовательно,

XYZ = 180^o- EYZ = EFZ = EFB.

Аналогично докажем, что YXZ = EAB , а т.к. вписанные в исходную окружность углы EFB и EAB опираются на одну и ту же дугу, то

XYZ = EFB= EAB = YXZ.

Следовательно, треугольник XYZ — равнобедренный.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии: шестиугольник в окружности и треугольник XYZ

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления