Олимпиадная задача по планиметрии для 8 и 9 класса: середина отрезка OH
Задача
AA1и CC1— высоты остроугольного
треугольника ABC , в котором 
ABC = 45o .
Точки O и H — соответственно центр описанной
окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите,
что прямая A1C1проходит через середину отрезка OH .
Решение
Центр O описанной окружности треугольника ABC —
точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника. Острый угол при вершине B прямоугольного
треугольника BC1C равен45o , поэтому
треугольник BCC1— равнобедренный. Его высота,
проведённая из вершины C1, проходит через середину
основания BC , а значит, является серединным перпендикуляром
к стороне BC .
Аналогично, высота прямоугольного треугольника AA1B является спрединным перпендикуляром к стороне AB и
также проходит через точку O .
Т.к. AA1 
BC и OC1
BC , то AA1 || OC1. Аналогично, CC1 || OA1. Значит, четырёхугольник OA1HC1— параллелограмм. Следовательно,
его диагональ A1C1проходит через середину
диагонали OH .
Пусть прямая C1O пересекает сторону BC в точке A2. Предположим, что уже доказано, что A2—
середина BC . Поскольку точки C1, A1и A2лежат на окружности девяти точек, а угол C1A2A1—
прямой, то A1C1— диаметр этой окружности.
Известно, что центр окружности девяти точек — середина
отрезка OH . Отсюда следует утверждение задачи.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь