Олимпиадная задача по планиметрии для 8 и 9 класса: середина отрезка OH

Центр O описанной окружности треугольника ABC — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Острый угол при вершине B прямоугольного треугольника BC1C равен45^o , поэтому треугольник BCC1— равнобедренный. Его высота, проведённая из вершины C1, проходит через середину основания BC , а значит, является серединным перпендикуляром к стороне BC . Аналогично, высота прямоугольного треугольника AA1B является спрединным перпендикуляром к стороне AB и также проходит через точку O .

Т.к. AA1 BC и OC1 BC , то AA1 || OC1. Аналогично, CC1 || OA1. Значит, четырёхугольник OA1HC1— параллелограмм. Следовательно, его диагональ A1C1проходит через середину диагонали OH . Пусть прямая C1O пересекает сторону BC в точке A2. Предположим, что уже доказано, что A2— середина BC . Поскольку точки C1, A1и A2лежат на окружности девяти точек, а угол C1A2A1— прямой, то A1C1— диаметр этой окружности. Известно, что центр окружности девяти точек — середина отрезка OH . Отсюда следует утверждение задачи.