Олимпиадная задача по планиметрии 8-9 класс: сумма длин отрезков в шестиугольнике

Задача

Центры O1, O2и O3трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1, O2и O3проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвет. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Решение

Обозначим точки касания через X1, X2, Y1, Y2, Z1, Z2, а вершины шестиугольника — A , B , C , D , E и F (см. рисунок). Радиусы окружностей одинаковы, поэтому

X1O2=O1Y2, Y1O3=O2Z2, Z1O1= O3X2,

или

X1A+AB+BO2=O1B+BC+CY2,

Y1C+CD+DO3=O2D+DE+EZ2,

Z1E+EF+FO1=O3F+FA+AX2.

Сложив почленно полученные равенства и заметив, что

X1A=AX2, Y1C=CY2, Z1E=EZ2

(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки) и

BO2=O1B, DO3=O2D, FO1=O3F

(т.к. радиусы данных окружностей равны), получим, что

AB+CD+EF=BC+DE+FA,

что и требовалось доказать.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии: сумма длин отрезков в выпуклом шестиугольнике для 8-9 класса

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления