Олимпиадная задача по планиметрии: окружность, ортоцентр и отрезки в треугольнике ABC для 8-9 класса
Задача
Окружность, проходящая через вершины A и C и
ортоцентр треугольника ABC , пересекает стороны AB и BC в точках X и Y . На стороне AC выбраны точки Z и T так, что ZX=ZY и ZA=TC .
Докажите, что BT 
XY .
Решение
Пусть B' — точка, симметричная вершине B относительно середины стороны AC , H — ортоцентр треугольника ABC . Точка B' лежит на окружности, о которой говорится в условии задачи, т.к.
AB'C = ABC = 180o- AHC,
Поскольку отрезки ZA и TC равны, при рассматриваемой симметрии
точка T переходит в Z , а отрезок BT — в параллельный ему
отрезок B'Z . Поэтому достаточно доказать, что B'Z XY .
По условию задачи точка Z равноудалена от концов отрезка XY .
Четырёхугольник ABCB' параллелограмм, поэтому XAB' =
BAB' = BCB'= YCB' . Равные вписанные углы XAB' и YCB' опираются на равные хорды, т.е. B'X=B'Y .
Таким образом, различные точки Z и B' равноудалены от концов
отрезка XY . Следовательно, B'Z — серединный перпендикуляр
к XY . Отсюда следует утверждение задачи.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь