Олимпиадная задача по планиметрии: центр вписанной окружности и равенства отрезков

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC . Будем считать, что точка I лежит внутри угла A1HC . Обозначим ABC = a . Тогда

A1HC = a, A1HI = = A1BI,

значит, из точек H и B отрезок A1I виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки B , H , I , A1лежат на одной окружности, причём BH — диаметр этой окружности т.к. BA1H = 90^o . Из точки C1отрезок BH виден под прямым углом, поэтому точка C1также лежит на этой окружности.

Поскольку BI — биссектриса вписанного угла A1BC1, точка I — середина дуги A1IC1, поэтому IA1=IC1.

Вписанные углы BIA1и BHA1опираются на одну и ту же дугу, поэтому

BIA1= BHA1 = ACB,

значит, четырёхугольник ILCA1— вписанный, а т.к. CI — биссектриса угла LCA1, то IL=IA1. Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует