Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 1-2 с решениями
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна <i>a</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB < BC</i>) проведены высоты <i>AM</i> и <i>CN</i>. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Известно, что ∠<i>ABC</i> = β, а площадь четырёхугольника <i>NOMB</i> равна <i>S</i>. Найдите сторону <i>AC</i>.
Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность. Диаметр <i>AD</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>E</i>, при этом <i>AC = EC</i> и <i>AE</i> : <i>DE = m</i>.
Найдите отношение <i>BE</i> : <i>CE</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> расположены точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём <i>AN</i> : <i>NB</i> = 3 : 2, <i>BM</i> : <i>MC</i> = 2 : 5. Прямые <i>AM</i> и <i>DN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения <i>OM</i> : <i>OA</i> и <i>ON</i> : <i>OD</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на диагоналях <i>BD</i> и <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём <i>BM</i> : <i>MD = CN</i> : <i>NA</i> = 1 : 8.
Найдите <i>MN</i>, если известно, что основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции равны <i>a</i> и <i>b</i> соответственно.
Точки <i>P</i> и <i>Q</i> расположены соответственно на диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём <i>CP</i> : <i>AP = BQ</i> : <i>DQ</i> = 5 : 2.
Найдите <i>PQ</i>, если известно, что основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции равны <i>a</i> и <i>b</i> соответственно.
На диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC = a</i> и <i>AD = b</i> расположены точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём
<i>CK</i> : <i>KA = BL</i> : <i>LD</i> = 7 : 4. Найдите <i>KL</i>.
На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём <i>BM</i> : <i>AM = CN</i> : <i>ND</i> = 3 : 5.
Найдите <i>MN</i>, если <i>BC = a</i> и <i>AD = b</i>.
В ромб <i>ABCD</i> вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке <i>P</i>, пересекает стороны <i>AB, BC</i> и продолжение стороны <i>AD</i> соответственно в точках <i>N, Q</i> и <i>M</i>, причём <i>MN</i> : <i>NP</i> : <i>PQ</i> = 7 : 1 : 2. Найдите углы ромба.
В четырёхугольнике<i> ABCD </i>найдите такую точку<i> E </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> EAB </i>и<i> ECD </i>было равно 1:2, а треугольников<i> EAD </i>и<i> EBC </i>— 3:4, если известны координаты всех его вершин:<i> A</i>(<i>-</i>2<i>;-</i>4),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>3),<i> C</i>(4<i>;</i>6),<i> D</i>(4<i>;-</i>1).
В четырёхугольнике<i> PQRS </i>найдите такую точку<i> T </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> RQT </i>и<i> PST </i>было равно 2:1, а треугольников<i> SRT </i>и<i> PQT </i>— 1:5, если известны координаты всех его вершин:<i> P</i>(6<i>;-</i>2),<i> Q</i>(3<i>;</i>4),<i> R</i>(<i>-</i>3<i>;</i>4),<i> S</i>(0<i>;-</i>2).
Боковые стороны трапеции равны меньшему основанию, а диагонали – большему. Найдите углы трапеции.
На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>D</i>, что окружность, проходящая через точки <i>A, B</i> и <i>D</i>, касается прямой <i>BC</i>.
Найдите <i>AD</i>, если <i>AB</i> = 18, <i>AC</i> = 36 и <i>BD</i> = 15.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>D</i>, что окружность, проходящая через точки <i>A, C</i> и <i>D</i>, касается прямой <i>BC</i>.
Найдите <i>AD</i>, если <i>AC</i> = 9, <i>BC</i> = 12 и <i>CD</i> = 6.
Стороны<i> AB </i>и<i> AC </i>треугольника равны соответственно<i> a </i>и<i> b </i>. На медиане, проведённой к стороне<i> BC </i>взята точка<i> M </i>. Сумма расстояний от этой точки до прямых<i> AB </i>и<i> AC </i>равна<i> c </i>. Найдите эти расстояния.
На продолжениях сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CD </i>и<i> DA </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>за точки<i> B </i>,<i> C </i>,<i> D </i>и<i> A </i>соответственно отложены отрезки<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1и<i> AA</i>1, равные этим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1, если площадь четырёхугольника<i> ABCD </i>равна<i> s </i>.
Точки<i> A' </i>и<i> B' </i>— образы точек<i> A </i>и<i> B </i>при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> A' </i>и<i> B' </i>лежат на одной окружности.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом при вершине <i>C</i> высота <i>CH</i> и биссектриса <i>AK</i> пересекаются в точке <i>M</i>.
Докажите, что треугольник <i>CMK</i> – равнобедренный.
На сторонах<i> AB </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>, площадь которого равна 50, взяты соответственно точки<i> M </i>и<i> K </i>так, что<i> AM:MB = </i>1<i>:</i>5, а<i> AK:KC = </i>3<i>:</i>2. Найдите площадь треугольника<i> AMK </i>.
Докажите что из двух неравных хорд окружности большая удалена от центра на меньшее расстояние. Верно ли обратное?
Через каждую точку<i> A </i>, лежащую на данной окружности, проводится касательная и на ней откладывается отрезок<i> AM </i>, равный данному. Найдите геометрическое место точек<i> M </i>.
Докажите, что выпуклый <i>n</i>-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол <sup>360°</sup>/<sub><i>n</i></sub> вокруг некоторой точки.
Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>CD</i> и <i>DE</i> правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i>. Найдите угол между прямыми <i>AM</i> и <i>BN</i>.
Шестиугольник <i>ABCDEF</i> – правильный, <i>K</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>BD</i> и <i>EF</i>. Докажите, что треугольник <i>AMK</i> – правильный.
Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>CD</i> и <i>DE</i> правильного шестиугольника <i>ABCDEF, P</i> – точка пересечения отрезков <i>AM</i> и <i>BN</i>. Докажите, что <i>S<sub>ABP</sub> = S<sub>MDNP</sub></i>.