Олимпиадная задача по планиметрии для 9-10 класса: точки на диагоналях трапеции

  Проведём через точку K прямую, параллельную основаниям. Пусть P и L₁ – её точки пересечения со стороной CD и диагональю BD соответственно. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что  DP : PC = AK : KC = 4 : 7,  DL₁ : L₁B = DP : PC = 4 : 7.

  Поэтому точка L₁ совпадает с точкой L. Следовательно,  KL || AD.

  Из подобия треугольников CKP и CDA находим, что  KP = ^CK/_AC·AD = ⁷/₁₁ AD = ⁷/₁₁ b,  а из подобия треугольников DPL и DCB –  LP = ⁴/₁₁ BC = ⁴/₁₁ a.

Следовательно,  KL = |KP – LP| = |⁷/₁₁ b – ⁴/₁₁ a|.

¹/₁₁ |7b – 4a|.