Олимпиадная задача по планиметрии про ромб с вписанной окружностью для 9–10 класса
Задача
В ромб ABCD вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке P, пересекает стороны AB, BC и продолжение стороны AD соответственно в точках N, Q и M, причём MN : NP : PQ = 7 : 1 : 2. Найдите углы ромба.
Решение
Пусть K, F и T – точки касания окружности со сторонами AD, AB и BC соответственно. Обозначим NM = 7x, NP = x, PQ = 2x, R – радиус окружности, O – её центр, AF = AK = a. Тогда MK = MP = 8x, MA = MK – AK = 8x – a.
Из подобия треугольников BQN и AMN находим, что BQ = 3/7 MA = 3/7 (8x – a). Значит,
BF = BT = BQ + QT = BQ + QP = 3/7 (8x – a) + 2x = 1/7 (38x – 3a), BN = BF – NF = BF – NP = 1/7 (31x – 3a).
Поскольку BN = 3/7 AN, то 1/7 (31x – 3a) = 3/7 (a + x). Отсюда a = 14x/3. Значит, AB = 10/3 BN = 170x/21. Из прямоугольного треугольника AOB находим, что OF² = R² = BF·AF = 16x², то есть R = 4x. Следовательно, sin∠ABC = 2R/AB = 84/85.
Ответ
2 arctg 6/7 = arcsin 84/85, π – arcsin 84/85.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь