Олимпиадная задача по планиметрии: поиск MN в трапеции ABCD (9-10 класс)
Задача
На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD расположены точки M и N соответственно, причём BM : AM = CN : ND = 3 : 5.
Найдите MN, если BC = a и AD = b.
Решение
Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что MN || AD. Первый способ. Проведём диагональ AC и обозначим через P точку её пересечения с MN. Из подобия треугольников AMP и ABC находим, что
MP = ⅝ a, а из подобия треугольников CPN и CAD – PN = ⅜ b. Следовательно, MN = MK + KN = ⅛ (5a + 3b). Второй способ. Предположим, что a < b. Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB. Пусть Q – точка её пересечения с основанием AD, а E – с отрезком MN. Из подобия треугольников CEN и CQD находим, что EN = ⅜ QD = ⅜ (b – a). Значит,
MN = ME + EN = a + ⅜ (b – a) = ⅛(5a + 3b).
Аналогично проводятся вычисления при a > b.
Ответ
⅛ (5a + 3b).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь