Задача № 215308
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Биссектриса угла ACB пересекает эти высоты в точках L и K соответственно. Докажите, что середина отрезка KL равноудалена от точек A1 и B1.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215307
Окружность, проходящая через вершины A и C и ортоцентр треугольника ABC , пересекает стороны AB и BC в точках X и Y . На стороне AC выбраны точки Z и T так, что ZX=ZY и ZA=TC . Докажите, что BT XY .
Задача № 215306
Центр I вписанной окружности остроугольного треугольника ABC лежит на биссектрисе острого угла между высотами AA1и CC1. Докажите, что IA1=IC1=IL , где L — основание биссектрисы угла B треугольника ABC .
Задача № 215305
Дан вписанный четырёхугольник ABCD , в котором BC=CD . Точка E — середина диагонали AC . Докажите, что BE+DE AC .
Задача № 215304
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD параллельно основаниям BC и AD, пересекает сторону CD в точке K. Окружность проходит через вершины A и B трапеции, пересекает её основания BC и AD в точках X и Y соответственно и касается её стороны CD в точке K. Докажите, что прямая XY проходит через точку пересечения прямых AB и CD. Также доступны документы в формате TeX
Задача № 215303
В треугольнике ABC на сторонах AB и BC выбраны точки E и F так, что AE = EF и ∠CEF = ∠B. Точка K на отрезке EC такова, что EK = FC. Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков AF и EC, в два раза короче KF. Также доступны документы в формате TeX
Задача № 215302
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Оказалось, что AB=BD , CE=EF . Диагонали AC и BE пересекаются в точке X , диагонали BE и DF — в точке Y , диагонали BF и AE — в точке Z . Докажите, что треугольник XYZ — равнобедренный.
Задача № 215301
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает прямые AB и A1B1 в точках L и K соответственно. Оказалось, что CL = 2CK. Найдите угол C.
Задача № 215300
ABCD – выпуклый четырёхугольник, в котором AD = BD = AC. Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Отрезок MN пересекает диагонали четырёхугольника в точках X и Y, P – точка пересечения AN и DM. Докажите, что PX = PY.
Задача № 215299
AA1и CC1— высоты остроугольного треугольника ABC , в котором ABC = 45o . Точки O и H — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что прямая A1C1проходит через середину отрезка OH .
Задача № 215298
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки X и Y так, что AX = BY и при этом ∠XYB = ∠BAC. Точка B1 – основание биссектрисы угла B. Докажите, что прямые XB1 и YC параллельны.
Задача № 215297
На биссектрисе AL треугольника ABC , в котором AL=AC , выбрана точка K таким образом, что CK=BL . Докажите, что CKL= ABC .
Задача № 215296
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, при этом AB=BD и AC=BC . Докажите, что ABC
Задача № 215295
На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC отмечены такие точки D и E, что AD ⊥ BC и AD = DE. На стороне AC отмечена такая точка F, что EF ⊥ BC. Найдите угол ABF.
Задача № 215294
Дан треугольник KLM , в котором KML=121o . Точки S и N на стороне KL таковы, что KS=SN=NL . Известно, что MN>KS . Докажите, что MS
Задача № 215293
Центры O1, O2и O3трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1, O2и O3проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвет. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Задача № 215292
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.
Задача № 215291
Окружности S1и S2касаются внешним образом в точке F . Их общая касательная l касается S1и S2в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB , касается окружности S2в точке C и пересекает S1в точках D и E . Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE , проходит через точку F .
Задача № 215290
Окружности S1и S2касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1и S2в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2в точке C и пересекает S1в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.
Задача № 215289
Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S , а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S , причём BD=AB . Прямая CD пересекает S в точке E . Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S .
Задача № 215288
Через точку M , лежащую внутри окружности S , проведена хорда AB ; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B . Докажите, что величина + не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M .
Задача № 215287
Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.
Задача № 215286
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC. а) Докажите, что AB·CD = BC·AD. б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.
Задача № 215285
Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D и E ; M — середина отрезка BC . Докажите, что BM2 = DM· ME и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE ; кроме того, BEM = DEC .
Задача № 215284
Стороны BC = a, AC = b, AB = c треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причём a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB1 пополам.
376–400 из 7538