Задача № 215620
Известно, что для некоторой внутренней точки K медианы BM треугольника ABC углы BAK и BCK равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215619
Угол A при вершине равнобедренного треугольника ABC равен100o . На луче AB отложен отрезок AM , равный основанию BC . Найдите угол BCM .
Задача № 215618
Прямая, параллельная медиане CM треугольника ABC, пересекается с прямыми AB, BC и AC в точках C', A' и B' соответственно. Докажите, что треугольники AA'C' и BB'C' равновелики.
Задача № 215617
D и E – точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со сторонами BC и AC. На биссектрису угла A опустили перпендикуляр BK. Докажите, что точки D, E и K лежат на одной прямой.
Задача № 215616
В треугольнике ABC угол C в два раза больше угла A и AC=2BC . Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
Задача № 215615
На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C1, B1, A1 соответственно. Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB1C1, A1BC1, A1B1C.
Задача № 215614
В выпуклом четырёхугольнике сумма расстояний от любой точки внутри четырёхугольника до четырёх прямых, на которых лежат стороны четырёхугольника, постоянна. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Задача № 215613
Докажите, что биссектриса, проведённая к наибольшей стороне треугольника, не превосходит высоту, опущенную на наименьшую сторону треугольника.
Задача № 215612
Точка M расположена внутри треугольника ABC. Известно, что треугольники AMB, AMC и BMC равновелики. Докажите, что M – точка пересечения медиан треугольника ABC.
Задача № 215611
Угол A треугольника ABC в два раза больше угла B. Докажите, что BC² = (AC + AB)AC.
Задача № 215610
Точка O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На сторонах AC и BC выбрали соответственно точки M и K так, что BK·AB = BO² и AM·AB = AO². Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.
Задача № 215609
Дан выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая противоположные вершины, делит его площадь пополам. Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.
Задача № 215608
K — точка пересечения биссектрис внутреннего угла B и внешнего угла C треугольника ABC , L — точка пересечения биссектрис внутреннего угла C и внешнего угла B . Докажите, что середина отрезка KL лежит на окружности, описанной около треугольника ABC .
Задача № 215607
Дан треугольник ABC и окружность, описанная вокруг него. K — точка пересечения биссектрис внутреннего угла B и внешнего угла C , L — точка пересечения биссектрис внутреннего угла C и внешнего угла B ; M — середина отрезка KL . Докажите, что M — середина дуги BAC .
Задача № 215606
Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке F . Известно, что точки B , D , E и F лежат на одной окружности. Докажите, что радиус этой окружности не меньше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.
Задача № 215605
На окружности с центром O лежит точка X . На диаметре, выходящем из точки X , возьмём точку Y так, чтобы точка O лежала между X и Y . Требуется провести через точку Y хорду AB так, чтобы угол AXB был минимален.
Задача № 215604
Известно, что для вписанного в окружность четырёхугольника ABCD выполнено равенство AB : BC = AD : DC. Прямая, проходящая через вершину B и середину диагонали AC, пересекает окружность в точке M, отличной от B. Докажите, что AM = CD.
Задача № 215603
На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD найдите такие точки K и M , чтобы площадь четырёхугольника, полученного при пересечении треугольников AMB и CKD , была наибольшей.
Задача № 215602
K и M — точки пересечения двух окружностей. Из точки K проведены два луча, один из которых пересекает первую окружность в точке A , а вторую в точке B ; другой пересекает первую окружность в точке C , вторую в точке D . Докажите, что углы MAB и MCD равны.
Задача № 215601
—биссектриса прямого угла треугольника . и — биссектрисы треугольников и . Докажите, что .
Задача № 215600
В остроугольный треугольник ABC помещены две касающиеся окружности. Одна из них касается сторон AC и BC , а вторая — сторон AB и BC . Докажите, что сумма их радиусов больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC .
Задача № 215599
С центром в точке B проведена окружность, касающаяся стороны AC треугольника ABC. Из вершин A и C проведены к этой окружности касательные AM и CP, отличные от AC (M и P – точки касания). Прямая MP пересекает прямую AB в точке E, а прямую BC в точке H. Докажите, что AH и CE – высоты треугольника ABC.
Задача № 215598
В четырёхугольнике ABCD точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Прямые AD и BC пересекают прямую MN соответственно в точках P и Q . Докажите, что если BQM = APM , то BC=AD .
Задача № 215597
На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.
Задача № 215596
Треугольник ABC вписан в окружность. A1— середина дуги BC , B1— середина дуги AC , C1— середина дуги AB . Стороны треугольника ABC высекают на отрезках A1B1, B1C1, A1C1меньшие отрезки с серединами M1, M2, M3. Докажите, что точки B1, C1и точки M1, M3лежат на одной окружности.
276–300 из 7538