Олимпиадная задача по планиметрии: треугольник, вписанный в окружность (8-9 класс)
Нет ответа
Задача
Треугольник ABC вписан в окружность. A1— середина дуги BC , B1— середина дуги AC , C1— середина дуги AB . Стороны треугольника ABC высекают на отрезках A1B1, B1C1, A1C1меньшие отрезки с серединами M1, M2, M3. Докажите, что точки B1, C1и точки M1, M3лежат на одной окружности.
Решение
Пусть отрезок A1C1пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках P и Q соответственно. Тогда
BPQ= BPA1, BQP = BQC1.
BPQ= BQP , т.е. треугольник BPQ — равнобедренный.
Его медиана BM3является высотой и биссектрисой, поэтому
точки B , M3и B1лежат на одной прямой и B1M3C1=90o . Аналогично, B1M1C1=90o , значит, из точек M3и M1отрезок B1C1виден под прямым углом.
Следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром B1C1.
Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет