Олимпиадная задача по планиметрии: четырёхугольник, описанный вокруг окружности
Нет ответа
Задача
Известно, что для вписанного в окружность четырёхугольника ABCD выполнено равенство AB : BC = AD : DC. Прямая, проходящая через вершину B и середину диагонали AC, пересекает окружность в точке M, отличной от B. Докажите, что AM = CD.
Решение
Диагональ BM четырёхугольника ABCM делит пополам его диагональ AC, значит, она делит пополам и площадь четырёхугольника ABCM, а так как
sin∠BCM = sin∠BAM, то AB·AM = BC·CM, или AB : BC = CM : AM. Таким образом, AD : DC = CM : AM. Поэтому треугольники ADC и CMA подобны, а так как AC – их общая сторона, то эти треугольники равны. Следовательно, AM = CD.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет