Олимпиадная задача по планиметрии: пересечение диагоналей в шестиугольнике
Задача
Дан выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая противоположные вершины, делит его площадь пополам.
Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть диагональ AD выпуклого шестиугольника ABCDEF пересекается с диагоналями BE и CF в точках X и Y соответственно, а диагонали BE и CF пересекаются в точке Z, причём точка X лежит между A и Y, а Z – между E и X. Тогда SABX = SXDE, SBCZ = SZEF, SCDY = SYAF (например, площадь каждого из треугольников ABX и XDE равна разности половины площади данного шестиугольника и четырёхугольника BCDX). Поэтому
AX·BX = DX·EX > DY·EZ, FZ·EZ = CZ·BZ > BX·CY, CY·DY = AY·FY > AX·FZ, значит, AX·BX·FZ· EZ·CY·DY > DY·EZ·BX·CY·AX·FZ, что невозможно. Следовательно, отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Аналогично разбираются остальные случаи.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь