Олимпиадная задача по математике: касающиеся окружности в треугольнике ABC

Олимпиадная задача по планиметрии: сумма радиусов окружностей в треугольнике ABC

Задача

В остроугольный треугольник ABC помещены две касающиеся окружности. Одна из них касается сторон AC и BC , а вторая — сторон AB и BC . Докажите, что сумма их радиусов больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

Через вершину A проведём касательные к каждой окружности, отличные от AC и AB . Пусть они пересекают сторону BC в точках D и E , причём окружность радиуса r1, касающаяся стороны AC , вписана в треугольник ACD , а окружность радиуса r2, касающаяся стороны AB — в треугольник ABE . Тогда треугольники ACD и ABE покрывают треугольник ABC . Пусть S1и S2— площади треугольников ACD и ABE соответственно, p1и p2— их полупериметры, а r , S и p — радиус вписанной окружности, площадь и полупериметр треугольника ABC . Тогда по неравенству треугольника AE<AC+EC , поэтому