Олимпиадная задача по планиметрии: максимальная площадь пересечения четырёхугольников

Воспользуемся следующим известным фактом. Если в трапеции (или параллелограмме) провести диагонали, то треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Пусть отрезки KD и AM пересекаются в точке X , а отрезки KC и BM — в точке Y . Положим

k===.

Тогда

S_{Δ AXD}=S_{Δ KXM}, S_{Δ AKX}=kS_{Δ KXM}, S_{Δ DXM}=S_{Δ KXM}.

Поэтому

S_AKMD=(2+k+)S_{Δ KXM} 4S_{Δ KXM},

причём равенство достигается только в случае k=1, т.е. при KM || AD . Аналогично, S_KBCM 4S_{Δ KYM} с равенством в случае KM || BC . Складывая эти два неравенства, получаем, что S_ABCD 4S_KXMY , или S_KXMY S_ABCD . Следовательно, наибольшая возможная площадь четырёхугольника KXMY равна S_ABCD и достигается при KM || AD .

Точки K и M можно взять произвольно так, чтобы отрезок KM был параллелен AD .