Олимпиадная задача по планиметрии: максимальная площадь пересечения четырёхугольников
На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD найдите такие точки K и M , чтобы площадь четырёхугольника, полученного при пересечении треугольников AMB и CKD , была наибольшей.
Показать ответ
Точки K и M можно взять произвольно так, чтобы отрезок KM был параллелен AD .
Разобрать решение
Воспользуемся следующим известным фактом. Если в трапеции (или параллелограмме) провести диагонали, то треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Пусть отрезки KD и AM пересекаются в точке X , а отрезки KC и BM — в точке Y . Положим
k=
=
=
.
Тогда
SΔ AXD=SΔ KXM,
SΔ AKX=kSΔ KXM,
SΔ DXM=
SΔ KXM.
Поэтому
SAKMD=(2+k+)SΔ KXM 
4SΔ KXM,
причём равенство достигается только в случае k=1, т.е. при KM || AD . Аналогично, SKBCM 4SΔ KYM с равенством в случае KM || BC . Складывая эти два неравенства,
получаем, что SABCD 4SKXMY , или SKXMY 
SABCD . Следовательно, наибольшая
возможная площадь четырёхугольника KXMY равна SABCD и достигается при KM || AD .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.