Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Известно, что для некоторой внутренней точки<i> K </i>медианы<i> BM </i>треугольника<i> ABC </i>углы<i> BAK </i>и<i> BCK </i>равны. Докажите, что треугольник<i> ABC </i>— равнобедренный.

Угол<i> A </i>при вершине равнобедренного треугольника<i> ABC </i>равен100<i>^o </i>. На луче<i> AB </i>отложен отрезок<i> AM </i>, равный основанию<i> BC </i>. Найдите угол<i> BCM </i>.

Прямая, параллельная медиане <i>CM</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекается с прямыми <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>C', A'</i> и <i>B'</i> соответственно.

Докажите, что треугольники <i>AA'C'</i> и <i>BB'C'</i> равновелики.

<i>D</i> и <i>E</i> – точки касания окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>, со сторонами <i>BC</i> и <i>AC</i>. На биссектрису угла <i>A</i> опустили перпендикуляр <i>BK</i>. Докажите, что точки <i>D, E</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.

В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> C </i>в два раза больше угла<i> A </i>и<i> AC=</i>2<i>BC </i>. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

На сторонах <i>AB, AC, BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i>, сторона которого равна 2, выбрали точки <i>C</i>₁, <i>B</i>₁, <i>A</i>₁ соответственно.

Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>AB</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>BC</i>₁, <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>.

В выпуклом четырёхугольнике сумма расстояний от любой точки внутри четырёхугольника до четырёх прямых, на которых лежат стороны четырёхугольника, постоянна. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Докажите, что биссектриса, проведённая к наибольшей стороне треугольника, не превосходит высоту, опущенную на наименьшую сторону треугольника.

Точка <i>M</i> расположена внутри треугольника <i>ABC</i>. Известно, что треугольники <i>AMB, AMC</i> и <i>BMC</i> равновелики.

Докажите, что <i>M</i> – точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>.

Угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i> в два раза больше угла <i>B</i>. Докажите, что  <i>BC</i>² = (<i>AC + AB</i>)<i>AC</i>.

Точка <i>O</i> – центр окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>. На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> выбрали соответственно точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что  <i>BK·AB = BO</i>²  и  <i>AM·AB = AO</i>².  Докажите, что точки <i>M, O</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.

Дан выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая противоположные вершины, делит его площадь пополам.

Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

<i> K </i>— точка пересечения биссектрис внутреннего угла<i> B </i>и внешнего угла<i> C </i>треугольника<i> ABC </i>,<i> L </i>— точка пересечения биссектрис внутреннего угла<i> C </i>и внешнего угла<i> B </i>. Докажите, что середина отрезка<i> KL </i>лежит на окружности, описанной около треугольника<i> ABC </i>.

Дан треугольник<i> ABC </i>и окружность, описанная вокруг него.<i> K </i>— точка пересечения биссектрис внутреннего угла<i> B </i>и внешнего угла<i> C </i>,<i> L </i>— точка пересечения биссектрис внутреннего угла<i> C </i>и внешнего угла<i> B </i>;<i> M </i>— середина отрезка<i> KL </i>. Докажите, что<i> M </i>— середина дуги<i> BAC </i>.

Биссектрисы<i> AD </i>и<i> CE </i>треугольника<i> ABC </i>пересекаются в точке<i> F </i>. Известно, что точки<i> B </i>,<i> D </i>,<i> E </i>и<i> F </i>лежат на одной окружности. Докажите, что радиус этой окружности не меньше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.

На окружности с центром<i> O </i>лежит точка<i> X </i>. На диаметре, выходящем из точки<i> X </i>, возьмём точку<i> Y </i>так, чтобы точка<i> O </i>лежала между<i> X </i>и<i> Y </i>. Требуется провести через точку<i> Y </i>хорду<i> AB </i>так, чтобы угол<i> AXB </i>был минимален.

Известно, что для вписанного в окружность четырёхугольника <i>ABCD</i> выполнено равенство  <i>AB</i> : <i>BC = AD</i> : <i>DC</i>.  Прямая, проходящая через вершину <i> B </i> и середину диагонали <i>AC</i>, пересекает окружность в точке <i>M</i>, отличной от <i>B</i>. Докажите, что  <i>AM = CD</i>.

На сторонах<i> AB </i>и<i> CD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>найдите такие точки<i> K </i>и<i> M </i>, чтобы площадь четырёхугольника, полученного при пересечении треугольников<i> AMB </i>и<i> CKD </i>, была наибольшей.

<i> K </i>и<i> M </i>— точки пересечения двух окружностей. Из точки<i> K </i>проведены два луча, один из которых пересекает первую окружность в точке<i> A </i>, а вторую в точке<i> B </i>; другой пересекает первую окружность в точке<i> C </i>, вторую в точке<i> D </i>. Докажите, что углы<i> MAB </i>и<i> MCD </i>равны.

$CD$ —биссектриса прямого угла треугольника $ABC$. $DE$ и $DK$ — биссектрисы треугольников $ADC$ и $BDC$. Докажите, что $AD^2+BD^2=(AE+BK)^2$.

В остроугольный треугольник<i> ABC </i>помещены две касающиеся окружности. Одна из них касается сторон<i> AC </i>и<i> BC </i>, а вторая — сторон<i> AB </i>и<i> BC </i>. Докажите, что сумма их радиусов больше радиуса окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.

С центром в точке <i>B</i> проведена окружность, касающаяся стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. Из вершин <i>A</i> и <i>C</i> проведены к этой окружности касательные <i>AM</i> и <i>CP</i>, отличные от <i>AC</i> (<i>M</i> и <i>P</i> – точки касания). Прямая <i>MP</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а прямую <i>BC</i> в точке <i>H</i>. Докажите, что <i>AH</i> и <i>CE</i> – высоты треугольника <i>ABC</i>.

В четырёхугольнике<i> ABCD </i>точки<i> M </i>и<i> N </i>— середины сторон<i> AB </i>и<i> CD </i>соответственно. Прямые<i> AD </i>и<i> BC </i>пересекают прямую<i> MN </i>соответственно в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Докажите, что если<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115598/problem_115598_img_2.gif"> BQM = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115598/problem_115598_img_2.gif"> APM </i>, то<i> BC=AD </i>.

На сторонах треугольника<i> ABC </i>как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники<i> ABD </i>,<i> BCE </i>и<i> ACF </i>. Докажите, что отрезки<i> DE </i>и<i> BF </i>равны и перпендикулярны.

Треугольник<i> ABC </i>вписан в окружность.<i> A</i>1— середина дуги<i> BC </i>,<i> B</i>1— середина дуги<i> AC </i>,<i> C</i>1— середина дуги<i> AB </i>. Стороны треугольника<i> ABC </i>высекают на отрезках<i> A</i>1<i>B</i>1,<i> B</i>1<i>C</i>1,<i> A</i>1<i>C</i>1меньшие отрезки с серединами<i> M</i>1,<i> M</i>2,<i> M</i>3. Докажите, что точки<i> B</i>1,<i> C</i>1и точки<i> M</i>1,<i> M</i>3лежат на одной окружности.