Задание олимпиады по планиметрии: высоты в треугольнике ABC, 8

Задача

С центром в точке B проведена окружность, касающаяся стороны AC треугольника ABC. Из вершин A и C проведены к этой окружности касательные AM и CP, отличные от AC (M и P – точки касания). Прямая MP пересекает прямую AB в точке E, а прямую BC в точке H. Докажите, что AH и CE – высоты треугольника ABC.

Решение

Пусть окружность касается стороны AC в точке F. Обозначим ∠A = α, ∠B = β. Прямоугольные треугольники AMB и AFB равны по катету и гипотенузе, поэтому ∠ABM = ∠ABF. Аналогично ∠CBP = ∠CBF, значит, ∠MBP = 2(∠ABF + ∠CBF) = 2∠B = 2β.

Из равнобедренного треугольникаMBPнаходим, что ∠BMP= 90° – β, значит, ∠AME= ∠AMB– ∠BMP= β, а так как MAE= ∠FAE= α, то треугольникAMEподобен треугольникуABCпо двум углам, поэтому ^AE/_AC = ^AM/_AB= cos α. Поскольку AE = ACcos α, тоCE– высота треугольникаABC. АналогичноAH– высота.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: высоты и касательные в треугольнике ABC

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления