Олимпиадная задача по планиметрии: биссектрисы и окружность в треугольнике ABC

Обозначим ABC = β . Тогда

DFE = AFC = 90^o+ ABC= 90^o+,

а т.к. четырёхугольник BDFE — вписанный, то ABC+ DFE = 180^o , или β +90^o+=180^o . Отсюда находим, что β = 60^o . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому BF — биссектриса угла DBE , значит, FBE = 30^o . Пусть r — радиус вписаной окружности треугольника ABC , а r1— радиус окружности, описанной около четырёхугольника DBEF . Тогда

r1 = =EF r,

т.к. F — центр вписанной окружности треугольника ABC (точка пересечения его биссектрис), а r — длина перпендикуяра, опущенного изт точки F на сторону AB . Что и требовалось доказазать.

Ответ задачи отсутствует