Олимпиадная задача по планиметрии: биссектрисы и окружность в треугольнике ABC
Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке F . Известно, что точки B , D , E и F лежат на одной окружности. Докажите, что радиус этой окружности не меньше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.
Разобрать решение
Обозначим 
ABC = β . Тогда
DFE = AFC = 90o+
ABC=
90o+
,
а т.к. четырёхугольник BDFE — вписанный, то ABC+ DFE = 180o , или β +90o+=180o .
Отсюда находим, что β = 60o .
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому BF — биссектриса угла DBE , значит, FBE = 30o .
Пусть r — радиус вписаной окружности треугольника ABC ,
а r1— радиус окружности, описанной около четырёхугольника DBEF . Тогда
r1 = 
=EF 
r,
т.к. F — центр вписанной окружности треугольника ABC (точка пересечения его биссектрис), а r — длина перпендикуяра, опущенного изт точки F на сторону AB . Что и требовалось доказазать.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.