Олимпиадная задача по планиметрии: минимальный угол AXB, окружность и хорда
Задача
На окружности с центром O лежит точка X . На диаметре, выходящем из точки X , возьмём точку Y так, чтобы точка O лежала между X и Y . Требуется провести через точку Y хорду AB так, чтобы угол AXB был минимален.
Решение
Проведём через точку Y хорду A0B0, перпендикулярную OX ,
и докажем, что для любой другой хорды AB , проходящей через точку Y , верно неравенство 
A0XB0 < AXB .
Будем считать, что точка A лежит на меньшей дуге A0B0.
Тогда
AXB- A0XB0= ( AXB0+ BXB0)-
( AXA0- AXB0)=
= BXB0- AXA0= BAB0- AB0A0.
BAB0> AB0A0, или YB0>AY (против большей стороны в треугольнике лежит больший
угол).
В треугольнике OYA угол OYA — тупой, поэтому OA2>OY2+AY2,
или
AY2<OA2-OY2=OB02-OY2=YB02.
Ответ
AB 
XY .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет