Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: треугольник и описанная окружность

Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника пересекаются в одной точке (центре вневписанной окружности треугольника). Поэтому AK и AL — биссектрисы вертикальных углов — внешних углов при вершине A треугольника ABC . Значит, прямая KL проходит через вершину A . Пусть M' — отличная от A точка пересечения окружности с прямой KL , а N — середина дуги BC , не содержащей точкy M' . Тогда AN — биссектриса угла BAC , а т.к. M'AN=90^o (как угол между биссектрисами смежных углов), то M'N — диаметр окружности, поэтому M' — середина дуги BAC , а M'N — серединный перпендикуяр к хорде BC . Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикуярны, поэтому из точек B и C отрезок KL виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KL . Серединный перпендикуляр к хорде BC этой окружности пересекает её диаметр KL в точке M' , поэтому M' — центр окружности, т.е. середина KL . Следовательно, точки M' и M совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует