Олимпиадная задача по планиметрии: равные и перпендикулярные отрезки в треугольнике
Задача
На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.
Решение
Рассмотрим квадраты BCYX и ACUV с центрами E и F соответственно. При повороте вокруг точки C на90o точка A переходит в точку U , точка Y — в точку B , отрезок AY — в отрезок UB , значит, AY=UB и AY 
UB .
Пусть M — середина AB . Тогда ME и MF — средние
линии треугольников ABY и ABY , поэтому ME=
AY=UB=MF , ME || AY и MF || BU , значит, отрезки ME и MF равны и
перпендикулярны.
При повороте вокруг точки M на90o вершина B переходит в точку D , точка F — в точку E ,
отрезок BF — в отрезок DE . Следовательно, эти отрезки
равны и перпендикулярны.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь