Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: треугольник со сторонами и углами

Пусть BAC = α . Тогда

ACB = 2α, ABC = 180^o-3α,

а т.к. AC>BC , то180^o-3α> α , откуда ACB = 2α < 90^o . Значит, серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает луч CB в некоторой точке K , AK=KC , CAK = ACK = 2α , а т.к. CAB = α , то AB — биссектриса угла ACK . По свойству биссектрисы треугольника = = , откуда BK=AK= CK , т.е. AB — медиана и биссектриса треугольника CAK , значит, треугольник CAK — равнобедренный. Следовательно, AB — его высота, т.е. ABC=90^o .

Пусть BAC = α , BC=a , AC=2a . Тогда

ACB = 2α, ABC = 180^o-3α,

По теореме синусов = , или

=, =, sin α = ,

а т.к. α <90^o как не наибольший угол треугольника, то α = 30^o . Следовательно,

ABC = 180^o-3α = 180^o-90^o= 90^o.

Ответ задачи отсутствует