Задача № 187161
На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине каждого конуса.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 187160
Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по общей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен60o . Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается конусов, но не проходит через общую образующую.
Задача № 187159
Два равных конуса с общей вершиной касаются друг друга и некоторой плоскости α . Пусть l – прямая, по которой пересекаются плоскости оснований конусов. Найдите угол между прямой l и плоскостью α , если высота каждого конуса равна 2, а радиус основания равен 1.
Задача № 187152
Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.
Задача № 187147
На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найдите радиус окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.
Задача № 177963
В равнобедренном треугольнике ABC ∠ABC = 20°. На равных сторонах CB и AB взяты соответственно точки P и Q так, что ∠PAC = 50° и ∠QCA = 60°. Докажите, что ∠PQC = 30°.
Задача № 157926
Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.
Задача № 155749
Пусть P, Q и R — центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC, а M, N, и K — центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом. Докажите, что разность площадей треугольников PQR и MNK равна площади треугольника ABC.
Задача № 155746
На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
Задача № 155744
На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
Задача № 155704
Даны окружность, две точки P и Q этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку M, чтобы прямые MP и MQ отсекали на данной прямой отрезок AB данной величины.
Задача № 155699
С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.
Задача № 155680
ABC — данный разносторонний треугольник, A1, B1, C1 – точки касания его вписанной окружности со сторонами BC, AC, AB соответственно, A2, B2, C2 — точки, симметричные точкам A1, B1, C1 относительно биссектрис соответствующих углов треугольника ABC. Докажите, что A2C2 || AC
Задача № 155679
Через центр O окружности проведено n прямых. С помощью циркуля и линейки Постройте описанный около этой окружности n-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.
Задача № 155677
На плоскости даны 2n прямых, окружность и точка K внутри неё. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность (2n + 1)-угольник, одна сторона которого проходит через точку K, а остальные стороны параллельны данным прямым.
Задача № 155675
На плоскости даны 2n - 1 прямая, окружность и точка K внутри окружности. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность 2n-угольник, у которого одна сторона проходит через точку K, а остальные параллельны данным прямым.
Задача № 155674
В интервале (0;) дано n чисел: , , ..., , при этом + +...+ = (n - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность n-угольник, внутренние углы которого равны соответственно , , ..., . Когда построение возможно?
Задача № 155673
С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность n-угольник, стороны которого соответственно параллельны n данным прямым.
Задача № 155672
На плоскости дано n прямых (n — нечётно), пересекающихся в одной точке. С помощью циркуля и линейки постройте n-угольник, для которого эти прямые являются биссектрисами внешних или внутренних углов.
Задача № 155671
Из центра O окружности проведены n прямых (n — нечётно). С помощью циркуля и линейки постройте вписанный в окружность n-угольник, для которого данные прямые являются серединными перепендикулярами к n его сторонам.
Задача № 155656
На плоскости даны прямые l1, l2, ..., l2n, пересекающиеся в одной точке. Блоха сидит в некоторой точке M плоскости и прыгает через прямую l1, попадая в точку M1, причём M и M1 симметричны относительно прямой l1, далее — через прямую l2 и т.д. Докажите, что если через 2n прыжков блоха оказалась в точке М, то, начиная движение из любой точки плоскости, через 2n прыжков блоха окажется на прежнем месте.
Задача № 155650
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.
Задача № 155647
Даны прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Постройте путь луча из A в B, который отражается от прямой l по следующему закону: угол падения на меньше угла отражения.
Задача № 155646
Дана прямая l и точки A и B по разные стороны от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку X, для которой AX - BX = a, где a — данная величина.
Задача № 155645
Дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l точку X, для которой AX + BX = a, где a — данная величина.
51–75 из 139