Олимпиадная задача: центры правильных треугольников образуют правильны

Пусть O1, O2и O3— центры указанных правильных треугольников A1BC , B1AC и C1AB , построенных на сторонах треугольника ABC . Тогда

BO1C = CO2A = AO3B = 120^o.

При композиции поворотов на120^o вокруг центров O1, O2, O3точка B перейдёт в себя. Поскольку сумма углов этих поворотов равна360^o , то такая композиция есть параллельный перенос, а т.к. B — неподвижная точка параллельного переноса, то это тождественное преобразование. Следовательно, композиция поворотов на120^o вокруг точек O1и O2есть поворот на угол(-120^o)вокруг точки O3. С другой стороны, каждый из этих поворотов можно представить как композицию двух симметрий:

R120^o _O1= S_lo S_a, R120^o _O2= S_bo S_l,

где l — это прямая O1O2, a и b — прямые, проходящие соответственно через точки O1и O2и образующие с прямой l углы60^o и -60^o . Тогда прямые a и b пересекутся в центре поворота, являющегося композицией этих двух поворотов, т.е. в точке O3. Следовательно, треугольник O1O2O3— равносторонний.

Ответ задачи отсутствует